【求导公式大全高等数学】在高等数学中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式对于学习微积分、解决实际问题具有重要意义。本文将对常见的求导公式进行系统总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ y = C $（常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、导数的四则运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ (u + v)' = u' + v' $ |
| 减法法则 | $ (u - v)' = u' - v' $ |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 除法法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
三、复合函数的求导法则（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
四、高阶导数
对于函数 $ y = f(x) $，其二阶导数为：
$$
y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right)
$$
依此类推，可求出更高阶的导数。
五、隐函数求导
若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 隐含定义，则可通过两边对 $ x $ 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
六、参数方程求导
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \text{（当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 \text{）}
$$
七、反函数求导
若 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
八、常用导数公式小结
| 类型 | 示例 | 导数 |
| 常数函数 | $ y = 5 $ | $ y' = 0 $ |
| 幂函数 | $ y = x^3 $ | $ y' = 3x^2 $ |
| 指数函数 | $ y = 2^x $ | $ y' = 2^x \ln 2 $ |
| 对数函数 | $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| 复合函数 | $ y = \sin(2x) $ | $ y' = 2\cos(2x) $ |
| 参数函数 | $ x = t^2, y = t^3 $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3}{2}t $ |
通过以上总结，我们可以清晰地看到各种常见函数的导数公式及其应用方式。熟练掌握这些内容，有助于提高解题效率，也为后续学习积分、微分方程等内容打下坚实基础。建议结合练习题加深理解，灵活运用导数知识。
