【求导公式大全】在微积分的学习过程中，求导是基础而重要的内容。掌握常见的求导公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。本文将总结常用的求导公式，并以表格的形式清晰呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ | 常数的导数为0 |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ | 幂函数求导法则 |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ | 指数函数导数 |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ | 自然指数函数导数 |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数导数 |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ | 自然对数导数 |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ | 正弦函数导数 |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ | 余弦函数导数 |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ | 正切函数导数 |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ | 余切函数导数 |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ | 正割函数导数 |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ | 余割函数导数 |
二、复合函数的导数（链式法则）
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
例如：
- $ y = \sin(3x) $ 的导数为：$ y' = 3\cos(3x) $
- $ y = (x^2 + 1)^3 $ 的导数为：$ y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
三、四则运算的导数规则
设 $ u = u(x) $，$ v = v(x) $，则：
| 运算类型 | 导数公式 | 说明 |
| 加法 | $ (u + v)' = u' + v' $ | 和的导数 |
| 减法 | $ (u - v)' = u' - v' $ | 差的导数 |
| 乘法 | $ (uv)' = u'v + uv' $ | 积的导数 |
| 除法 | $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 商的导数 |
四、高阶导数
某些函数的高阶导数具有明显的规律性：
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | n阶导数 |
| $ y = x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ | $ n(n-1)(n-2)x^{n-3} $ | $ n!x^{n-k} $（k ≤ n） |
| $ y = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ y = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin(x + \frac{n\pi}{2}) $ |
| $ y = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | $ \cos(x + \frac{n\pi}{2}) $ |
五、隐函数与参数方程的导数
- 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，可两边对x求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
- 参数方程求导：若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
$$
六、小结
求导是微积分中的核心工具之一，掌握常见函数的导数公式及其应用方法，能够帮助我们更高效地解决数学问题。通过不断练习和理解这些公式，可以提升解题能力，并为进一步学习积分、微分方程等内容打下坚实的基础。
希望这份“求导公式大全”能成为你学习过程中的得力助手！
