题目指的是不定积分 ∫ e^((1/2) x² ) dx，这个积分不能用初等函数表示，也就是俗称的积不出来，无法写成多项式 指数 对数 三角函数这类初等函数的组合，很多同学一开始会想用凑微分法，但是因为指数是二分之一 x 平方，内层导数是 x，原积分里面没有配套的 x 因子，凑微分失败，这个是高数非常经典的陷阱题型，和正态分布里面的高斯积分密切相关，虽然不定积分没有初等原函数，但是无穷限定积分也就是高斯积分是可以算出确定数值的，考试经常把不定积分和高斯定积分放在一起考察，一定要区分清楚，不要强行硬凑初等表达式。

基础对照表

配套可凑微分题型讲解

∫ x e^((1/2) x² ) dx

令 u = (1/2) x²

du = x dx

原式 = ∫ e^u du = e^u + C = e^( (1/2) x² ) + C

这个就是考试最容易混淆的版本，多乘一个 x 之后就可以凑微分，很多同学会把这道题和原题搞混。

拓展 负号版本 正态高斯积分

标准正态里面最常考的是 ∫ e^(- (1/2) x² ) dx，同样不定积分也没有初等原函数，但是无穷定积分 ∫(-∞,+∞) e^( - (1/2) x² ) dx = √(2π)

这个结论要用二重积分极坐标变换证明，是概率论核心公式，注意原题是正的二分之一 x 平方，没有负号，函数随 x 增大指数爆炸增长，无穷积分是发散的，和带负号的正态高斯积分完全不一样。

表示方法

因为∫ e^((1/2) x² ) dx 没有初等原函数，可以用特殊函数表示，也就是虚误差函数，或者写成幂级数展开形式，把 e^u 泰勒展开之后逐项积分，本科普通高数考试一般不要求掌握这个特殊函数写法，只需要记住结论，判定它不能初等积分即可。

解题判断步骤

第一步 观察被积函数 e^((1/2) x² )，内层 u=(1/2) x²，du=x dx

第二步 检查原积分是否含有 x 这个因子，原题没有 x，凑微分无法完成

第三步 判定该不定积分不存在初等原函数，不能强行写出初等表达式

第四步 如果题目改成带负号，要记得是正态高斯积分，区分收敛和发散

【常见问题】

问题 1 e 的二分之一 x 平方积分，为什么不能凑微分

回答 1 e 的二分之一 x 平方积分，内层导数是 x，原被积函数没有 x 因子，凑微分条件不满足，所以不能用第一类换元得到初等原函数。

问题 2 e 的二分之一 x 平方积分，加上 x 之后是不是就可以积分

回答 1 e 的二分之一 x 平方积分，如果变成∫x e^((1/2) x² ) dx，就可以凑微分，结果是 e^( (1/2) x² ) 加常数 C。

问题 3 e 的二分之一 x 平方积分，和标准正态高斯积分差别是什么

回答 1 e 的二分之一 x 平方积分指数没有负号，无穷定积分发散，标准正态是指数带负号，也就是 e 的负二分之一 x 平方，无穷定积分收敛等于根号 2π。

问题 4 e 的二分之一 x 平方积分，考试遇到应该怎么写答案

回答 1 e 的二分之一 x 平方积分，本科高数考试直接说明该不定积分不存在初等原函数即可，一般不会要求写出特殊函数形式。

【免责申明】

本内容仅作为高等数学学习参考，不同教材表述略有差异，做题请严格按照课程教材定义与考试要求作答。