【三角恒等变换公式】在三角函数的学习中，掌握各种三角恒等变换公式是解题的关键。这些公式不仅帮助我们简化复杂的三角表达式，还能用于求解方程、证明恒等式以及解决实际问题。以下是对常见三角恒等变换公式的总结，并以表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、基本三角恒等式
1. 毕达哥拉斯恒等式
- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $
- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $
2. 正弦与余弦的和差公式
- $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $
- $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $
3. 正切的和差公式
- $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $
4. 倍角公式
- $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta $
- $ \tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} $
5. 半角公式
- $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} $
- $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} $
- $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} $
6. 积化和差公式
- $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $
- $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $
- $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $
7. 和差化积公式
- $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $
- $ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $
- $ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $
- $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $
二、常用三角恒等变换公式汇总表
| 公式类型 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | 毕达哥拉斯恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 和差公式 | 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 和差公式 | 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 和差公式 | 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
| 倍角公式 | 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $ |
| 倍角公式 | 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta $ |
| 倍角公式 | 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} $ |
| 半角公式 | 正弦半角 | $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} $ |
| 半角公式 | 余弦半角 | $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} $ |
| 半角公式 | 正切半角 | $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} $ |
| 积化和差 | 正弦乘余弦 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| 积化和差 | 余弦乘余弦 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ |
| 积化和差 | 正弦乘正弦 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 和差化积 | 正弦和 | $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $ |
| 和差化积 | 正弦差 | $ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $ |
| 和差化积 | 余弦和 | $ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $ |
| 和差化积 | 余弦差 | $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} $ |
三、应用提示
- 在使用这些公式时，注意角度的单位（弧度或角度）是否一致。
- 选择合适的公式可以大大简化计算过程。
- 通过反复练习，能够更熟练地运用这些公式解决实际问题。
通过以上总结和表格，我们可以系统地掌握三角恒等变换公式，为后续的数学学习打下坚实的基础。
