【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究角度与边长之间关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解问题本质。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ为锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ = a/c |
| 余弦 | cosθ = b/c |
| 正切 | tanθ = a/b |
| 余切 | cotθ = b/a |
| 正割 | secθ = c/b |
| 余割 | cscθ = c/a |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 倒数关系 | tanθ = 1/cotθ, secθ = 1/cosθ, cscθ = 1/sinθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 勾股定理 | (sinθ)² + (cosθ)² = 1 |
三、诱导公式（角度转换）
用于将任意角转换为0°到360°之间的等效角，便于计算。
| 角度变换 | 公式表达式 |
| 90° - θ | sin(90° - θ) = cosθ, cos(90° - θ) = sinθ |
| 90° + θ | sin(90° + θ) = cosθ, cos(90° + θ) = -sinθ |
| 180° - θ | sin(180° - θ) = sinθ, cos(180° - θ) = -cosθ |
| 180° + θ | sin(180° + θ) = -sinθ, cos(180° + θ) = -cosθ |
| 360° - θ | sin(360° - θ) = -sinθ, cos(360° - θ) = cosθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差公式
将乘积形式的三角函数转化为和差形式。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
八、和差化积公式
将和差形式的三角函数转化为乘积形式。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
总结
三角函数的公式体系庞大而系统，涵盖了从基本定义到复杂应用的多个层面。掌握这些公式不仅可以帮助我们解决实际问题，还能提升数学思维能力。建议在学习过程中结合图形记忆，并通过练习不断巩固相关知识。
