【三角函数所有公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等多个领域。掌握三角函数的所有基本公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。本文将系统总结常见的三角函数公式，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本概念
三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）六种，它们分别定义为直角三角形中角的对边、邻边与斜边的比值。
二、常用公式汇总
1. 基本定义公式
| 函数 | 定义式 |
| sinθ | 对边 / 斜边 |
| cosθ | 邻边 / 斜边 |
| tanθ | 对边 / 邻边 |
| cotθ | 邻边 / 对边 |
| secθ | 斜边 / 邻边 |
| cscθ | 斜边 / 对边 |
2. 诱导公式（角度转换）
| 公式 | 说明 |
| sin(π - θ) = sinθ | 正弦函数的奇偶性 |
| cos(π - θ) = -cosθ | 余弦函数的奇偶性 |
| tan(π - θ) = -tanθ | 正切函数的奇偶性 |
| sin(π + θ) = -sinθ | 正弦函数的周期性 |
| cos(π + θ) = -cosθ | 余弦函数的周期性 |
| tan(π + θ) = tanθ | 正切函数的周期性 |
| sin(-θ) = -sinθ | 正弦函数的奇函数性质 |
| cos(-θ) = cosθ | 余弦函数的偶函数性质 |
| tan(-θ) = -tanθ | 正切函数的奇函数性质 |
3. 和差公式
| 公式 | 说明 |
| sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 正弦的和差公式 |
| cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB | 余弦的和差公式 |
| tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) | 正切的和差公式 |
4. 二倍角公式
| 公式 | 说明 |
| sin2θ = 2 sinθ cosθ | 正弦的二倍角公式 |
| cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ | 余弦的二倍角公式 |
| tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) | 正切的二倍角公式 |
5. 半角公式
| 公式 | 说明 |
| sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | 正弦的半角公式 |
| cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | 余弦的半角公式 |
| tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | 正切的半角公式 |
6. 积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| sinA cosB = [sin(A + B) + sin(A - B)] / 2 | 正弦乘余弦的积化和差 |
| cosA cosB = [cos(A + B) + cos(A - B)] / 2 | 余弦乘余弦的积化和差 |
| sinA sinB = [cos(A - B) - cos(A + B)] / 2 | 正弦乘正弦的积化和差 |
7. 和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| sinA + sinB = 2 sin[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] | 正弦的和化积 |
| sinA - sinB = 2 cos[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] | 正弦的差化积 |
| cosA + cosB = 2 cos[(A + B)/2] cos[(A - B)/2] | 余弦的和化积 |
| cosA - cosB = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A - B)/2] | 余弦的差化积 |
8. 反三角函数公式（部分）
| 公式 | 说明 |
| arcsin(sinθ) = θ | 在定义域内成立 |
| arccos(cosθ) = θ | 在定义域内成立 |
| arctan(tanθ) = θ | 在定义域内成立 |
| arcsin(x) + arccos(x) = π/2 | 正弦与余弦的反函数关系 |
| arctan(x) + arctan(1/x) = π/2（x > 0） | 正切的反函数关系 |
三、三角函数图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 图像特征 |
| sinθ | R | [-1, 1] | 2π | 奇函数 | 波浪形，从0开始上升 |
| cosθ | R | [-1, 1] | 2π | 偶函数 | 波浪形，从1开始下降 |
| tanθ | θ ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函数 | 有渐近线，周期性波动 |
| cotθ | θ ≠ kπ | R | π | 奇函数 | 有渐近线，周期性波动 |
| secθ | θ ≠ π/2 + kπ | (-∞, -1] ∪ [1, ∞) | 2π | 偶函数 | 与cosθ图像相似，但无界 |
| cscθ | θ ≠ kπ | (-∞, -1] ∪ [1, ∞) | 2π | 奇函数 | 与sinθ图像相似，但无界 |
四、三角函数的应用
- 解三角形：利用正弦定理、余弦定理求解任意三角形的边角。
- 周期性问题：如简谐振动、交流电等。
- 几何变换：在坐标系中进行旋转、平移等操作。
- 信号处理：傅里叶分析中广泛应用三角函数。
五、结语
三角函数是数学中不可或缺的一部分，其公式繁多且应用广泛。通过系统的归纳与整理，有助于加深理解、提高计算效率。希望本文能为学习者提供清晰、全面的参考资料，助力数学学习之路。
