【三角函数公式大全】在数学学习中，三角函数是重要的基础内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题效率的提升，还能加深对三角函数性质的理解。本文将系统总结常见的三角函数公式，并以表格形式进行归纳整理，便于查阅和记忆。
一、基本定义
三角函数通常是在直角三角形或单位圆中定义的，主要包括以下六个基本函数：
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y/x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x/y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | 1/x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | 1/y |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 勾股恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 正切与正割关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割关系 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、角度变换公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 诱导公式（角度加减） | $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $, $ \cos(-\theta) = \cos\theta $, $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $ |
| 互补角公式 | $ \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta $, $ \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta $ |
| 补角公式 | $ \sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta $, $ \cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta $ |
四、和差公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦乘积 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 余弦乘积 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)] $ |
| 正弦余弦乘积 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| 余弦和差 | $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| 正弦差 | $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
| 余弦差 | $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right) $ |
九、反三角函数基本公式
| 函数名称 | 基本性质 |
| arcsin(x) | 定义域：[-1, 1]，值域：[-π/2, π/2] |
| arccos(x) | 定义域：[-1, 1]，值域：[0, π] |
| arctan(x) | 定义域：R，值域：(-π/2, π/2) |
十、特殊角度的三角函数值表
| 角度（°） | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 无意义 |
通过以上总结可以看出，三角函数公式的种类繁多，但它们之间存在紧密的联系和相互推导的可能。掌握这些公式，不仅可以提高解题能力，还能增强对三角函数整体结构的理解。建议在实际应用中灵活运用，结合图形和实例进行理解，效果更佳。
