【三角函数公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握常见的三角函数公式有助于提高解题效率和理解问题本质。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行归纳。
一、基本三角函数定义
设一个角为 $ \theta $，其终边与单位圆交于点 $ (x, y) $，则：
| 函数 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = y $ |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = x $ |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $（$ y \neq 0 $） |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $（$ y \neq 0 $） |
二、基本恒等式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 勾股恒等式 |
| $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ | 正切与正割的关系 |
| $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 余切与余割的关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 正弦的和差公式 |
| $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 余弦的和差公式 |
| $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 正切的和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ | 正弦的倍角公式 |
| $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ | 余弦的倍角公式 |
| $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 正切的倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 正弦的半角公式 |
| $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 余弦的半角公式 |
| $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 正切的半角公式 |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 说明 |
| $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ | 积化和差公式 |
| $ \sin A + \sin B = 2\sin\left( \frac{A + B}{2} \right)\cos\left( \frac{A - B}{2} \right) $ | 和差化积公式 |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left( \frac{A + B}{2} \right)\cos\left( \frac{A - B}{2} \right) $ | 和差化积公式 |
通过以上内容的整理，可以系统地了解三角函数的基本公式及其应用范围。熟练掌握这些公式有助于解决复杂的三角问题，提升数学思维能力。
