【向量平行垂直公式推导】在向量的学习中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。本文将对向量平行和垂直的条件进行推导，并以表格形式总结其公式及应用方法，帮助读者更好地理解相关概念。

一、向量平行的推导

若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 平行，则它们的方向相同或相反。数学上，可以表示为：

$$

\vec{a} = k \vec{b}

$$

其中 $k$ 是一个实数，称为比例系数。

推导过程：

设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则存在实数 $k$，使得：

$$

a_1 = k b_1,\quad a_2 = k b_2,\quad a_3 = k b_3

$$

由此可得比例关系：

$$

\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k

$$

因此，若三个分量比值相等，则两向量平行。

二、向量垂直的推导

若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直，则它们的夹角为 $90^\circ$。根据向量的点积定义，有：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

当 $\theta = 90^\circ$ 时，$\cos\theta = 0$，所以：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

推导过程：

设 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则点积为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

$$

若该结果为零，则两向量垂直。

三、总结对比表

四、应用举例

- 平行判断：已知 $\vec{a} = (2, 4, 6)$，$\vec{b} = (1, 2, 3)$，因为 $2/1 = 4/2 = 6/3 = 2$，故两向量平行。

- 垂直判断：已知 $\vec{a} = (1, 2, -3)$，$\vec{b} = (4, -1, 0)$，计算点积：$1×4 + 2×(-1) + (-3)×0 = 4 - 2 + 0 = 2$，不为零，故不垂直。

通过上述推导与总结，我们可以清晰地掌握向量平行与垂直的数学本质及其判断方法，为后续学习打下坚实基础。