【向量积的坐标运算公式及推导】在三维空间中，向量积（也称为叉积）是两个向量之间的一种特殊乘法运算，其结果是一个与原两向量都垂直的新向量。向量积在物理、工程和数学中有着广泛应用，如计算力矩、面积、方向等。本文将总结向量积的基本概念及其在直角坐标系下的运算公式，并通过推导过程展示其原理。

一、向量积的定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记为 a × b，其结果是一个向量，满足以下性质：

- 方向：垂直于向量 a 和 b 所确定的平面；

- 模长：等于 absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角；

- 方向遵循右手定则。

二、向量积的坐标运算公式

在直角坐标系中，向量积可以通过行列式形式进行计算，具体公式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

因此，向量积的结果可以表示为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、向量积的推导过程

向量积的公式来源于向量的几何意义和代数运算规则。我们可以从单位向量 i, j, k 的叉积关系出发进行推导。

1. 单位向量的叉积关系

$$

\begin{aligned}

\mathbf{i} \times \mathbf{j} &= \mathbf{k}, \\

\mathbf{j} \times \mathbf{k} &= \mathbf{i}, \\

\mathbf{k} \times \mathbf{i} &= \mathbf{j}, \\

\mathbf{i} \times \mathbf{i} &= \mathbf{0}, \\

\mathbf{j} \times \mathbf{j} &= \mathbf{0}, \\

\mathbf{k} \times \mathbf{k} &= \mathbf{0}, \\

\mathbf{j} \times \mathbf{i} &= -\mathbf{k}, \\

\mathbf{k} \times \mathbf{j} &= -\mathbf{i}, \\

\mathbf{i} \times \mathbf{k} &= -\mathbf{j}.

\end{aligned}

$$

2. 向量展开

设向量 a = a₁i + a₂j + a₃k，b = b₁i + b₂j + b₃k，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k}) \times (b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k})

$$

展开后利用分配律和上述单位向量的叉积关系，可得：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

四、总结与对比表

五、结语

向量积作为向量运算的重要形式，在三维空间中具有明确的几何意义和代数表达。掌握其坐标运算公式和推导过程，有助于理解其在实际问题中的应用。通过表格形式对内容进行总结，能够更清晰地把握其核心要点。