【向量基本公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，广泛应用于几何、力学、工程等领域。向量不仅具有大小，还具有方向，因此它的运算方式与标量不同。以下是对向量基本公式的总结，便于理解和应用。
一、向量的基本概念
| 概念 | 定义 | ||
| 向量 | 具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如 $\vec{a}$ | ||
| 标量 | 只有大小，没有方向的量，如 $5$、$10$ | ||
| 向量的模 | 向量的长度，记作 $ | \vec{a} | $ |
| 单位向量 | 模为1的向量，记作 $\hat{a}$，满足 $ | \hat{a} | = 1$ |
二、向量的运算公式
1. 向量加法
- 定义：两个向量相加，得到一个新的向量。
- 公式：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)
$$
- 性质：
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
2. 向量减法
- 定义：两个向量相减，即加上一个相反向量。
- 公式：
$$
\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)
$$
3. 向量数乘
- 定义：向量与标量相乘，改变向量的大小或方向。
- 公式：
$$
k\vec{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)
$$
- 性质：
- 分配律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
- 数乘结合律：$(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$
4. 向量点积（数量积）
- 定义：两个向量的点积是一个标量，表示它们之间的夹角关系。
- 公式：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} =
$$
或者在坐标形式下：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
$$
- 性质：
- 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- 点积为零时，两向量垂直。
5. 向量叉积（矢量积）
- 定义：两个向量的叉积是一个新向量，其方向垂直于这两个向量所在的平面。
- 公式：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
$$
在坐标形式下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
= (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)
$$
- 性质：
- 与点积不同，叉积是矢量；
- 交换律不成立：$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$；
- 若两向量平行，则叉积为零。
三、向量的投影与分解
| 内容 | 公式 | ||
| 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ |
| 向量 $\vec{a}$ 的单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ |
| 向量分解 | $\vec{a} = \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} + \text{orth}_{\vec{b}} \vec{a}$ |
四、常用向量公式小结表
| 运算类型 | 公式 | 说明 |
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b}$ | 向量首尾相连 |
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b}$ | 加上反向向量 |
| 数乘 | $k\vec{a}$ | 改变向量大小或方向 |
| 点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b}$ | 得到标量，反映角度关系 |
| 叉积 | $\vec{a} \times \vec{b}$ | 得到垂直向量，用于三维空间 |
| 投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}$ | 向量在另一方向上的分量 |
通过以上对向量基本公式的总结，可以更清晰地掌握向量在数学和物理中的应用方式，有助于后续学习更复杂的向量分析内容。
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