【向量积的全部公式】在数学和物理中，向量积（又称叉积）是两个向量之间的一种运算，其结果是一个与这两个向量都垂直的向量。向量积广泛应用于物理学、工程学、计算机图形学等领域，用于计算力矩、角动量、电磁场等。本文将总结向量积的基本概念、公式及其应用。
一、基本概念
向量积是定义在三维空间中的二元运算，设两个向量为 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积记作 a × b，结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量模长的乘积与夹角的正弦值的乘积。
二、向量积的公式
1. 向量积的代数表达式
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
或写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
2. 向量积的模长公式
$$
$$
其中，θ 是两个向量之间的夹角。
3. 向量积的方向
根据右手定则，若以右手四指从 a 指向 b，拇指所指方向即为 a × b 的方向。
三、向量积的性质
| 性质 | 公式 |
| 1. 反交换律 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ |
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
| 3. 线性性 | $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$，其中 $k$ 为标量 |
| 4. 与零向量的积 | $\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0}$ |
| 5. 与自身相乘 | $\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$ |
四、向量积的应用
| 应用领域 | 应用实例 |
| 物理学 | 计算力矩、角动量、磁场作用力等 |
| 工程学 | 机械系统中力的分析 |
| 计算机图形学 | 计算法向量、光照方向等 |
| 数学 | 判断向量是否共面、求平面方程等 |
五、常用单位向量的向量积
以下是一些常见单位向量之间的向量积：
| i × j | j × k | k × i |
| k | i | j |
反向为：
| j × i | k × j | i × k |
| -k | -i | -j |
六、向量积与点积的区别
| 特征 | 向量积（叉积） | 点积（数量积） |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 定义 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ |
| 几何意义 | 垂直于两向量的向量 | 两向量投影的乘积 |
| 运算规则 | 非交换 | 交换律成立 |
七、总结
向量积是一种重要的向量运算，具有明确的几何意义和广泛的物理应用。掌握其公式、性质及应用场景，有助于在多个学科中进行更深入的分析与计算。通过上述表格和公式，可以快速查阅并理解向量积的核心内容。
如需进一步了解向量积在具体问题中的应用，可结合实际案例进行详细分析。
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