【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对期望与方差公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均值，权重为对应的概率。它表示在大量重复试验中，随机变量的平均结果。
1. 离散型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(x_1), P(x_2), \ldots, P(x_n) $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
2. 连续型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度。方差越大，说明数据越分散；方差越小，说明数据越集中。
1. 方差的定义
对于任意随机变量 $ X $，其方差定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
2. 方差的计算公式
也可以用以下等价形式计算方差：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见分布的期望与方差
下面是几种常见概率分布的期望与方差公式，便于快速查阅和应用。
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1 - p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、总结
期望和方差是统计分析中不可或缺的工具，它们能够帮助我们理解数据的集中趋势和离散程度。掌握这些公式的推导和应用场景，有助于更深入地理解和分析随机现象。无论是理论研究还是实际应用，都离不开对期望与方差的准确计算和合理解释。
