【期望的求法】在概率论与数理统计中，期望是一个非常重要的概念，它反映了随机变量在大量重复试验中所表现出的平均值。理解期望的计算方法，有助于我们更好地分析和预测随机事件的结果。
一、期望的基本定义
期望（Expected Value）是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为对应的概率。数学上，对于离散型随机变量 $ X $，其期望记作 $ E(X) $，公式如下：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中，$ x_i $ 是随机变量的第 $ i $ 个可能取值，$ P(x_i) $ 是该取值出现的概率。
对于连续型随机变量 $ X $，期望的计算方式则为积分形式：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是概率密度函数。
二、期望的计算方法总结
以下是不同情况下期望的计算方法总结：
| 随机变量类型 | 公式表达 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $ | 每个取值乘以对应概率后求和 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int x \cdot f(x) \, dx $ | 对概率密度函数进行积分 |
| 常数 | $ E(c) = c $ | 常数的期望等于自身 |
| 线性组合 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | 期望具有线性性质 |
| 独立随机变量 | $ E(XY) = E(X) \cdot E(Y) $ | 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则乘积的期望等于各自期望的乘积 |
三、实际应用举例
示例1：掷一枚公平的六面骰子
设随机变量 $ X $ 表示骰子点数，可能取值为 $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $，每个点数出现的概率为 $ \frac{1}{6} $。
计算期望：
$$
E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}
= \frac{21}{6} = 3.5
$$
示例2：连续型随机变量
设 $ X $ 在区间 $ [0, 2] $ 上均匀分布，即概率密度函数为：
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
计算期望：
$$
E(X) = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} = 1
$$
四、小结
期望是描述随机变量“平均表现”的重要指标，其计算方法根据变量类型有所不同。掌握期望的求法，不仅有助于理解概率模型，还能在实际问题中提供有效的决策依据。
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 随机变量在所有可能取值上的加权平均 |
| 离散型 | $ \sum x_i \cdot P(x_i) $ |
| 连续型 | $ \int x \cdot f(x) \, dx $ |
| 特殊情况 | 常数、线性组合、独立变量等 |
| 应用 | 风险评估、投资回报预测、统计推断等 |
通过以上内容可以看出，期望的计算虽然基础，但其应用广泛，是概率与统计中的核心概念之一。
