【期望和方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量基本特征的两个重要概念。期望反映了随机变量的平均值或长期趋势，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是关于期望和方差的常用公式总结。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能结果中加权平均的数值，表示随机变量的“中心位置”。
1. 离散型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差是衡量随机变量与其期望之间偏离程度的指标，反映了数据的波动性。
1. 方差的定义
对于随机变量 $ X $，其方差定义为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望与方差
| 分布名称 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布（a, b） | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、性质与应用
- 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有 $ E(aX + b) = aE(X) + b $。
- 方差的线性性：$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $。
- 协方差与相关系数：用于描述两个随机变量之间的关系，但不在本文讨论范围内。
总结
期望和方差是理解随机变量行为的重要工具。通过掌握它们的计算公式和性质，可以更好地分析数据、预测结果以及进行统计推断。无论是理论研究还是实际应用，这两项指标都具有不可替代的作用。
