【向量积怎么求】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中计算两个向量之间的垂直方向和面积等信息。在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用。本文将总结向量积的基本概念、计算方法及应用特点，并通过表格形式进行对比说明。

一、向量积的基本概念

向量积是指在三维空间中，给定两个向量 a 和 b，它们的叉积是一个新的向量 c = a × b，其方向垂直于 a 和 b 所在的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

- 方向：由右手定则确定。

- 大小：a × b = absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角。

- 结果：一个向量，不是标量。

二、向量积的计算方法

1. 矢量表示法

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

a × b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a₁ & a₂ & a₃ \\

b₁ & b₂ & b₃ \\

\end{vmatrix}

= (a₂b₃ - a₃b₂)\mathbf{i} - (a₁b₃ - a₃b₁)\mathbf{j} + (a₁b₂ - a₂b₁)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

$$

2. 计算步骤

1. 分别写出两个向量的三个分量；

2. 按照公式展开行列式或直接代入公式；

3. 得到结果向量的三个分量。

三、向量积的应用场景

四、向量积与点积的区别

五、注意事项

- 向量积只在三维空间中定义，二维向量需补充第三维为0；

- 如果两个向量方向相同或相反，则叉积为零向量；

- 叉积不满足交换律，即 a × b ≠ b × a，但 a × b = -(b × a)；

- 在编程实现时，注意数组索引和分量顺序，避免计算错误。

六、总结

向量积是一种重要的向量运算方式，能够帮助我们找到两个向量所形成的平面的垂直方向，并计算面积等信息。掌握其计算方法和应用场景，对于理解三维空间中的几何关系具有重要意义。通过表格对比可以更清晰地理解向量积与点积的区别及其适用范围。