【三角函数公式总结】在数学学习中，三角函数是重要的基础内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本定义
| 名称 | 定义式（在直角三角形中） |
| 正弦函数 | $\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ |
| 余弦函数 | $\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ |
| 正切函数 | $\tan\theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ |
| 余切函数 | $\cot\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$ |
| 正割函数 | $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ |
| 余割函数 | $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和正割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和余割的关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变化 | 对应的三角函数表达式 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ | $\cos\theta$ |
| $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ | $\sin\theta$ |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差角公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差角公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差角公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ | 两倍角正弦公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ | 两倍角余弦公式 |
| $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ | 另一种形式 |
| $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ | 另一种形式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角正切公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角正弦公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角余弦公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 半角正切公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 正弦乘余弦的积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 余弦乘余弦的积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | 正弦乘正弦的积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 正弦和的和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 正弦差的和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 余弦和的和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ | 余弦差的和差化积 |
九、反三角函数简要介绍
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| $\arcsin x$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $\arccos x$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ |
| $\arctan x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
通过以上表格的整理，可以更清晰地了解和应用三角函数的相关公式。建议在学习过程中结合图形理解，加强记忆与应用能力。
