【向量外积运算法则】向量外积（又称叉积）是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中的物理和几何问题。它不仅具有方向性，还具有大小特性，能够描述两个向量之间的垂直关系。本文将总结向量外积的基本运算法则，并通过表格形式进行清晰展示。

一、基本概念

向量外积是两个向量 a 和 b 的一种乘法运算，记作 a × b，其结果是一个新的向量，该向量与原向量 a 和 b 都垂直。外积的大小等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，方向由右手螺旋法则决定。

二、外积的运算法则

1. 反交换律

向量外积不满足交换律，而是满足反交换律：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})

$$

2. 分配律

外积满足对向量加法的分配律：

$$

\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}

$$

3. 数乘结合律

若有标量 $ k $，则：

$$

(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})

$$

4. 零向量性质

任意向量与零向量的外积仍为零向量：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{0} = \mathbf{0} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}

$$

5. 共线向量的外积

若两向量共线（即夹角为0°或180°），则它们的外积为零向量：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}, \quad \text{当 } \mathbf{a} \parallel \mathbf{b}

$$

6. 单位向量外积

在标准正交基下，单位向量之间外积遵循以下规则：

$$

\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}, \quad \mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}

$$

反向时则为负：

$$

\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}, \quad \mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}, \quad \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}

$$

三、外积的计算公式

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则其外积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

四、外积的应用场景

- 物理学中，如力矩、角动量等；

- 计算平面法向量；

- 判断向量是否共面；

- 图形学中用于计算法线方向等。

五、总结表格

通过以上总结，可以更清晰地掌握向量外积的运算规则及其应用范围，有助于在实际问题中灵活运用这一数学工具。