【连续随机变量的期望与方差公式】在概率论与数理统计中，连续随机变量是描述在某个区间内可以取到无限多个值的随机现象的重要工具。对于连续随机变量，我们通常用概率密度函数（PDF）来描述其分布特性，并通过积分计算其期望和方差等数字特征。
以下是对连续随机变量的期望与方差公式的总结，便于理解和应用。
一、期望（数学期望）
定义：
设 $ X $ 是一个连续随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则 $ X $ 的期望（或数学期望）记作 $ E(X) $，其计算公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
意义：
期望反映了随机变量在长期试验中的平均值，是随机变量的“中心位置”。
二、方差
定义：
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度。设 $ X $ 是一个连续随机变量，其期望为 $ E(X) $，则其方差记作 $ Var(X) $，其计算公式为：
$$
Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
或者也可以使用另一种形式：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
其中：
$$
E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx
$$
意义：
方差越大，说明随机变量的波动性越强；反之，则越稳定。
三、常见连续分布的期望与方差公式
| 分布名称 | 概率密度函数 $ f(x) $ | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 伽马分布 $ Gamma(k,\theta) $ | $ \frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)} $, $ x > 0 $ | $ k\theta $ | $ k\theta^2 $ |
四、总结
连续随机变量的期望和方差是刻画其分布特性的两个重要指标。期望反映的是变量的集中趋势，而方差则反映其离散程度。在实际问题中，掌握这些公式的应用有助于对随机现象进行更深入的分析与预测。
通过表格的形式，可以更直观地比较不同分布下的期望与方差，从而更好地理解它们的统计特性。
