【不定积分公式】在微积分的学习过程中，不定积分是重要的基础内容之一。它用于求解函数的原函数，即反导数。掌握常见的不定积分公式对于解决各种数学问题具有重要意义。以下是对常见不定积分公式的总结与归纳。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int x^n \, dx $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \int \frac{1}{x} \, dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int e^x \, dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int a^x \, dx $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \int \sin x \, dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x \, dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int \sec^2 x \, dx $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \int \csc^2 x \, dx $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \int \sec x \tan x \, dx $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \int \csc x \cot x \, dx $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数相关积分
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int \tan x \, dx $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \int \cot x \, dx $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \int \sec x \, dx $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \int \csc x \, dx $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数积分
| 函数 | 不定积分 |
| $ \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx $ | $ \arccos x + C $ |
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
| $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
四、其他常用积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arcsec\left(\frac{ | x | }{a}\right) + C $ |
五、积分技巧补充
- 换元法：适用于复合函数的积分。
- 分部积分法：适用于乘积形式的函数积分，公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
- 有理函数分解：对分式函数进行拆分，便于逐项积分。
- 特殊函数处理：如指数、对数、三角函数等需结合相应公式进行处理。
结语
不定积分是微积分中的核心内容之一，熟练掌握各类积分公式和技巧，有助于提高解题效率和准确性。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。同时，注意避免混淆积分与导数的关系，保持清晰的逻辑思维。
