【不定积分常用公式有哪些】在微积分的学习中，不定积分是重要内容之一。掌握常见的不定积分公式，有助于提高解题效率和理解积分的本质。以下是对一些常用的不定积分公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、三角函数的积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{\cos(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{\sin(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | ||
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | ||
| $ \tan^2 x $ | $ \tan x - x + C $ | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
三、反三角函数的积分公式
| 函数 | 不定积分 |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ | $ \text{arcsec } x + C $ |
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 + 1}} $ | $ -\text{arccot } x + C $ |
四、其他常见函数的积分
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
五、总结
以上是一些在高等数学中较为常见的不定积分公式，涵盖了多项式、指数函数、三角函数、反三角函数以及一些有理函数的积分形式。熟练掌握这些公式，有助于快速求解积分问题，同时也为后续学习定积分、积分应用等内容打下坚实基础。
建议在学习过程中结合练习题进行巩固，逐步提升对积分方法的理解与运用能力。
