【三角函数的基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。掌握三角函数的基本公式是理解和应用这些知识的基础。以下是对三角函数基本公式的总结，并以表格形式进行归纳整理。
一、基本定义
三角函数通常是在直角三角形或单位圆中定义的，常见的六种三角函数为：
- 正弦（sin）
- 余弦（cos）
- 正切（tan）
- 余切（cot）
- 正割（sec）
- 余割（csc）
它们的定义如下（设 θ 为一个角）：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 (sin) | 对边 / 斜边 |
| 余弦 (cos) | 邻边 / 斜边 |
| 正切 (tan) | 对边 / 邻边 |
| 余切 (cot) | 邻边 / 对边 |
| 正割 (sec) | 斜边 / 邻边 |
| 余割 (csc) | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
三角函数之间存在许多重要的恒等关系，这些恒等式在计算和推导中非常有用。
1. 基本恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 勾股定理的三角函数形式 |
| $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | 由正切与正割的关系得出 |
| $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 由余切与余割的关系得出 |
2. 互为倒数关系
| 函数对 | 关系式 |
| sin 和 csc | $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ |
| cos 和 sec | $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ |
| tan 和 cot | $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ |
三、角度的和差公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值。
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
四、倍角与半角公式
用于计算角的两倍或一半的三角函数值。
1. 倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 正弦的倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ | 余弦的倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 正切的倍角公式 |
2. 半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ | 正切的半角公式 |
五、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式转换为和差形式，或者相反。
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ | 和差化积 |
六、常用特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 无定义 |
总结
三角函数的基本公式是学习三角学的核心内容，涵盖了从基本定义到复杂变换的多个方面。掌握这些公式不仅有助于解决实际问题，还能加深对三角函数性质的理解。通过不断练习和应用，可以更灵活地运用这些公式进行计算和推理。
