【三角函数变换公式总结】在数学学习中，三角函数的变换公式是解决各种三角问题的基础工具。无论是解三角形、求周期、还是进行三角恒等式推导，掌握这些公式都至关重要。以下是对常见三角函数变换公式的系统总结，便于理解和记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 内容 |
| 基本关系 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 倒数关系 | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$, $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$, $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ |
| 商数关系 | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ |
二、诱导公式（角度与单位圆的关系）
| 角度变换 | 公式 |
| $-\theta$ | $\sin(-\theta) = -\sin \theta$, $\cos(-\theta) = \cos \theta$, $\tan(-\theta) = -\tan \theta$ |
| $\pi - \theta$ | $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$, $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$, $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$ |
| $\pi + \theta$ | $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$, $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$, $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$ |
| $2\pi - \theta$ | $\sin(2\pi - \theta) = -\sin \theta$, $\cos(2\pi - \theta) = \cos \theta$, $\tan(2\pi - \theta) = -\tan \theta$ |
三、和角与差角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦和差 | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 余弦和差 | $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 正切和差 | $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
四、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦倍角 | $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ |
| 余弦倍角 | $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |
| 正切倍角 | $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ |
五、半角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦半角 | $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ |
| 余弦半角 | $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ |
| 正切半角 | $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ |
六、积化和差公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $\frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ |
七、和差化积公式
| 公式 | 内容 |
| $\sin A + \sin B$ | $2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ |
八、其他常用公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦函数的周期性 | $\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$ |
| 余弦函数的周期性 | $\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$ |
| 正切函数的周期性 | $\tan(\theta + \pi) = \tan \theta$ |
总结
以上是常见的三角函数变换公式，涵盖了从基础关系到复杂变换的多个方面。熟练掌握这些公式有助于提高解题效率，尤其在处理三角方程、三角图像以及物理中的波动问题时具有重要意义。建议通过多做练习来加深理解，并灵活运用这些公式解决实际问题。
