【数量积的运算法则】在向量运算中，数量积（也称为点积）是一种重要的运算方式，广泛应用于物理、工程和数学等多个领域。它不仅能够反映两个向量之间的夹角关系，还能用于计算力的功、投影长度等实际问题。本文将对数量积的运算法则进行总结，并通过表格形式清晰展示其核心内容。

一、数量积的定义

设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的数量积定义为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n

$$

在二维或三维空间中，也可以表示为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

其中，θ 是两个向量之间的夹角。

二、数量积的运算法则总结

三、应用举例

1. 求向量夹角

已知 $\mathbf{a} = (1, 2)$，$\mathbf{b} = (3, -1)$，则：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1×3 + 2×(-1) = 3 - 2 = 1

$$

$$

\mathbf{a} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \quad \mathbf{b} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}

$$

$$

\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0.1414

$$

2. 判断正交

若 $\mathbf{a} = (2, -1)$，$\mathbf{b} = (1, 2)$，则：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2×1 + (-1)×2 = 2 - 2 = 0

$$

所以，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直。

四、小结

数量积是向量运算中的基本工具之一，掌握其运算法则有助于更深入地理解向量间的几何关系和物理意义。通过上述总结和表格，可以快速回顾数量积的核心规则及其应用场景，便于在学习和实践中灵活运用。