【向量叉乘公式】在三维空间中，向量叉乘（Cross Product）是一种重要的向量运算，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积、力矩等物理量。叉乘的结果是一个向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量的模长乘积与夹角正弦值的乘积。

一、向量叉乘的基本概念

向量叉乘是两个向量之间的一种乘法运算，记作 a × b，结果是一个新的向量，该向量与原两个向量都垂直。

- 定义式：

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

$$

展开后可得：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

二、向量叉乘的性质

三、向量叉乘的应用场景

四、叉乘公式总结

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}$

五、示例计算

设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

(2×6 - 3×5, 3×4 - 1×6, 1×5 - 2×4)

= (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8)

= (-3, 6, -3)

$$

通过以上内容可以看出，向量叉乘不仅具有明确的数学表达式，还具备丰富的物理意义和应用价值。掌握其基本公式和性质，有助于在工程、物理和计算机科学等领域进行更深入的研究与应用。