【求导公式运算法则】在微积分的学习中，求导是基础且重要的内容之一。掌握常见的求导公式和运算法则是理解函数变化率、分析函数性质的关键。本文将对常用的求导公式与运算法则进行总结，并以表格形式直观展示。
一、基本求导公式
以下是一些常见函数的导数公式，适用于初等函数的求导：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、求导运算法则
在实际运算中，常常需要对多个函数进行加减乘除或复合操作，此时需使用相应的求导法则来简化计算。
1. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则
$$ f'(x) = u'(x) \pm v'(x) $$
2. 积法则（乘法法则）
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则
$$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $$
3. 商法则（除法法则）
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$
4. 链式法则（复合函数求导）
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则
$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$
三、典型应用举例
示例1：求 $ f(x) = x^2 \sin x $ 的导数
利用积法则：
$$
f'(x) = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x
$$
示例2：求 $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ 的导数
利用商法则：
$$
f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot x'}{x^2} = \frac{1 \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{x - \ln x}{x^2}
$$
示例3：求 $ f(x) = \sin(3x) $ 的导数
利用链式法则：
$$
f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)
$$
四、总结
掌握基本的求导公式和运算法则，是进行复杂函数求导的基础。通过灵活运用和差法则、积法则、商法则和链式法则，可以高效地解决各类求导问题。同时，建议在学习过程中多做练习题，加深对公式的理解和应用能力。
附表：常用求导公式与法则总结
| 类型 | 公式/法则 | 说明 |
| 基本导数 | $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 三角函数 | $ \sin x $, $ \cos x $ | 导数分别为 $ \cos x $, $ -\sin x $ |
| 指数函数 | $ e^x $, $ a^x $ | 导数分别为 $ e^x $, $ a^x \ln a $ |
| 对数函数 | $ \ln x $, $ \log_a x $ | 导数分别为 $ \frac{1}{x} $, $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| 运算法则 | 和差法则 | $ (u \pm v)' = u' \pm v' $ |
| 积法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ | |
| 商法则 | $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | |
| 链式法则 | $ [g(h(x))]' = g'(h(x)) \cdot h'(x) $ |
通过系统地整理这些内容，有助于提高数学思维能力和解题效率，是学习微积分不可或缺的一部分。
