【求导公式大全】在数学学习中，导数是一个非常重要的概念，尤其在微积分中起着核心作用。掌握常见的求导公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。以下是对常见求导公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、导数的四则运算法则
| 运算类型 | 公式 |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 除法法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
三、复合函数与链式法则
对于复合函数 $ y = f(g(x)) $，其导数为：
$$
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
四、高阶导数
若 $ f(x) $ 是可导函数，则其二阶导数为：
$$
f''(x) = \frac{d^2 f}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{df}{dx} \right)
$$
同理，三阶导数为：
$$
f'''(x) = \frac{d^3 f}{dx^3}
$$
五、隐函数求导
若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所定义，且 $ y $ 是关于 $ x $ 的函数，则通过两边对 $ x $ 求导，可得：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
六、参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \text{当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
七、反函数求导
若 $ y = f(x) $ 有反函数 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}
$$
总结
求导是数学分析中的基础工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。熟练掌握各类函数的导数公式以及求导法则，能够帮助我们更高效地解决实际问题。建议在学习过程中结合练习题不断巩固，逐步提升对导数应用的理解和运用能力。
