根号 15 也就是√15，它是一个无理数，不能化成整数或者简单分数，精确近似值大约等于 3.87298，因为 15 不是完全平方数，不存在两个相同整数相乘等于 15，所以开根号之后会得到无限不循环小数，日常做题的时候一般保留两位小数写成 3.87，也可以直接保留根号 15 这种最简根式形式，很多同学容易把根号 15 和根号 16 混淆，根号 16 等于 4 是整数，而根号 15 介于 3 和 4 之间，更加靠近 4，手工计算可以使用夹逼法或者长除法也就是竖式开根号，计算器可以直接得到高精度小数结果。之所以√15 是无理数，原理是假设它可以写成最简分数 p/q，平方之后会推出 p 和 q 存在公共因数，和最简分数前提矛盾，数学证明层面就确定它无法得到有限小数。

基础性质

方法一 夹逼估算法

第一步 找相邻完全平方数，3 的平方等于 9，4 的平方等于 16，9 小于 15 小于 16，所以√15 在 3 和 4 之间。

第二步 缩小区间，计算 3.8 的平方等于 14.44，3.9 的平方等于 15.21，14.44 小于 15 小于 15.21，所以√15 在 3.8 和 3.9 之间。

第三步 继续细分，3.87 的平方等于 14.9769，3.88 的平方等于 15.0544，所以√15 在 3.87 和 3.88 之间。

第四步 继续迭代，得到更精确数值 3.87298。

方法二 竖式手工开根号

第一步 把被开方数 15 写成 15.000000，从小数点位置开始，整数部分两位一组，这里整数部分只有 15 一组。

第二步 第一位商，找最大整数 a，a²≤15，a 取 3，3²=9，余数 15 减 9 等于 6。

第三步 余数后面补两个 0 变成 600，把已经得到的商 3 乘以 20 得到 60，试商 b，(60+b)×b≤600，试 b=8，(60+8)×8=544，余数 600 减 544 等于 56。

第四步 继续补两个 0 变成 5600，当前商是 38，乘以 20 得到 760，试商 c，(760+c)×c≤5600，试 c=7，(760+7)×7=5369，余数 231。

第五步 重复补 0 试商的流程，持续往后推算小数位，最终得到 3.87298。

补充 近似计算公式 牛顿迭代法

迭代公式 xn+1 = (xn + 15/xn) / 2

初始值取 x0=3.9

第一次迭代 x1=(3.9+15/3.9)/2≈3.87308

第二次迭代 x2=(3.87308+15/3.87308)/2≈3.87298

这个方法收敛速度很快，少量迭代就能得到很高精度，适合计算机和考试快速求近似值。

综合来看，根号 15 不能化简成整数，标准答案可以保留根式√15，需要小数的时候近似取 3.87，手工计算优先选择夹逼法理解区间，需要高精度可以使用牛顿迭代或者竖式开根号。

【常见问题】

问题 1 根号 15 开根号可以化简吗

回答 1 根号 15 开根号不能继续化简，因为 15 分解质因数是 3 乘 5，两个质因数指数都是 1，没有可以提到根号外面的平方因子，所以√15 就是最简根式。

问题 2 根号 15 开根号和根号 16 开根号有什么区别

回答 1 根号 15 开根号是无理数，近似值 3.87298，根号 16 开根号等于 4 是整数，因为 16 是完全平方数，做题的时候很容易把根号 15 开根号误算成 4。

问题 3 根号 15 开根号在数轴上怎么定位

回答 1 根号 15 开根号数值大约 3.87，位置在 3 和 4 之间，距离 4 很近，利用勾股定理也可以作图，构造直角边让斜边长度等于根号 15 开根号。

问题 4 根号 15 开根号的平方等于多少

回答 1 根号 15 开根号本身就是 15 的算术平方根，所以根号 15 开根号再平方结果等于 15，这是算术平方根的基本性质。

【免责申明】 本文根号 15 开根号计算讲解属于数学基础运算教学，近似小数为保留多位的估算结果，正式考试请按题目要求的保留小数位数作答，特殊题型请以教材定义为准。