【数学期望常用公式总结】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量的“平均值”或“中心位置”。它广泛应用于统计分析、金融建模、机器学习等多个领域。本文对常见的数学期望公式进行系统性总结，便于查阅和应用。
一、基本定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其概率分布为：
- 若 $ X $ 是离散型随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
- 若 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
二、常见分布的数学期望
以下是一些常见概率分布的数学期望公式，适用于不同场景下的计算需求：
| 分布名称 | 概率分布/密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 0-1分布 | $ P(X=1) = p $, $ P(X=0) = 1-p $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 卡方分布 | $ \chi^2(n) $ | $ n $ |
| t 分布 | $ t(n) $ | $ 0 $（当自由度 $ n > 1 $） |
| F 分布 | $ F(m,n) $ | $ \frac{n}{n-2} $（当 $ n > 2 $） |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对于任意常数 $ a, b $ 和随机变量 $ X, Y $，有：
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
2. 常数的期望：若 $ c $ 是常数，则：
$$
E(c) = c
$$
3. 独立变量的乘积期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 非负随机变量的期望：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
5. 期望的加权平均：若 $ X $ 的取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应概率为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
四、应用举例
1. 抛硬币实验：设 $ X $ 表示抛一次硬币正面出现的次数，服从 0-1 分布，$ p = 0.5 $，则：
$$
E(X) = 0.5
$$
2. 掷骰子：设 $ X $ 为一枚六面骰子的点数，则 $ X $ 服从均匀分布 $ U(1,6) $，则：
$$
E(X) = \frac{1+6}{2} = 3.5
$$
3. 泊松过程中的事件发生次数：若某事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布 $ \text{Poisson}(\lambda) $，则其平均发生次数为 $ \lambda $。
五、注意事项
- 数学期望是概率加权的平均值，不能简单地用算术平均代替。
- 在某些情况下，如存在极端值或重尾分布时，数学期望可能无法很好地代表数据的中心趋势。
- 对于复杂随机变量，可通过期望的线性性质进行分解和计算。
六、总结
数学期望是概率统计中的核心概念之一，掌握其定义、性质及常见分布的期望公式，有助于在实际问题中进行合理的数据分析和决策。通过表格形式的总结，可以更清晰地理解各类分布的期望表达方式，并灵活应用于不同的场景中。
