【数学期望常用公式】数学期望是概率论与数理统计中的一个重要概念，用于描述随机变量在长期试验中取值的平均趋势。它在实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、统计分析等领域。掌握常见的数学期望公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。
一、数学期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望（或期望值）定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
其中 $ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数。
二、常见分布的数学期望公式
以下是几种常见概率分布的数学期望公式总结如下：
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 0-1分布（伯努利分布） | $ P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu,\sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ E(X) = \mu $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ | $ E(X) = \frac{1}{\lambda} $ |
| 几何分布 $ G(p) $ | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：对任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
4. 期望的非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
四、应用举例
例如，在赌博游戏中，若某次游戏的收益为 $ X $，其可能取值为 $ -1 $（输）和 $ 1 $（赢），对应概率分别为 $ 0.5 $，则其数学期望为：
$$
E(X) = (-1) \times 0.5 + 1 \times 0.5 = 0
$$
这说明该游戏在长期来看是公平的。
五、结语
数学期望作为衡量随机变量“平均值”的重要工具，不仅在理论研究中占据核心地位，也在实际应用中发挥着关键作用。掌握各类分布的期望公式及其性质，有助于更高效地进行数据分析与决策判断。
