【统计学中残差平方和】在统计学中，残差平方和（Residual Sum of Squares，简称RSS）是一个重要的概念，常用于衡量回归模型的拟合效果。它表示实际观测值与模型预测值之间的差异总和的平方。通过分析RSS，可以评估模型的准确性，并为模型选择提供依据。
一、什么是残差平方和？
残差平方和是指在回归分析中，所有数据点的残差（即实际观测值与模型预测值之差）的平方和。数学上，对于一个线性回归模型：
$$
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i
$$
其中，$ y_i $ 是实际观测值，$ \hat{y}_i $ 是模型预测值，$ \epsilon_i = y_i - \hat{y}_i $ 是残差。则残差平方和为：
$$
RSS = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2
$$
二、残差平方和的作用
1. 评估模型拟合程度：RSS越小，说明模型对数据的拟合越好。
2. 比较不同模型：在多个模型中，可以选择RSS较小的模型作为更优的选择。
3. 计算决定系数：在计算R²（决定系数）时，RSS是关键组成部分之一。
三、残差平方和与其他指标的关系
| 指标 | 定义 | 与RSS的关系 |
| 总平方和（SST） | 所有观测值与均值的平方差之和 | $ SST = SSR + RSS $ |
| 回归平方和（SSR） | 模型解释的变异部分 | $ SST = SSR + RSS $ |
| 决定系数（R²） | 模型解释的变异比例 | $ R^2 = 1 - \frac{RSS}{SST} $ |
四、应用实例
假设我们有一个简单的线性回归模型，用于预测房屋价格。根据样本数据，计算出的残差平方和如下：
| 房屋编号 | 实际价格（万元） | 预测价格（万元） | 残差（万元） | 残差平方 |
| 1 | 50 | 48 | 2 | 4 |
| 2 | 60 | 62 | -2 | 4 |
| 3 | 70 | 68 | 2 | 4 |
| 4 | 80 | 79 | 1 | 1 |
| 5 | 90 | 92 | -2 | 4 |
总残差平方和（RSS） = 4 + 4 + 4 + 1 + 4 = 17（万元²）
五、总结
残差平方和是衡量回归模型拟合优度的重要指标。它反映了模型未能解释的数据变异部分。在实际应用中，应结合其他指标如总平方和（SST）、回归平方和（SSR）和决定系数（R²）进行综合分析，以全面评价模型的性能。
通过合理使用RSS，可以优化模型结构，提高预测精度，从而更好地服务于数据分析和决策支持。
