【统计学卡方值计算公式】在统计学中，卡方检验（Chi-square test）是一种常用的非参数检验方法，主要用于判断两个分类变量之间是否存在显著的关联性。卡方值是卡方检验的核心指标，用于衡量观察频数与理论频数之间的差异程度。以下是卡方值的计算公式及相关说明。
一、卡方值计算公式
卡方值（χ²）的计算公式如下：
$$
\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
$$
其中：
- $ O_i $ 表示第 $ i $ 个单元格的实际观察频数；
- $ E_i $ 表示第 $ i $ 个单元格的期望频数；
- $ \sum $ 表示对所有单元格进行求和。
二、期望频数的计算方法
期望频数的计算基于假设两个变量相互独立的情况下，各单元格的理论频数。其计算公式为：
$$
E_i = \frac{(\text{行合计}) \times (\text{列合计})}{\text{总样本数}}
$$
三、卡方值计算步骤
1. 构建列联表：将数据整理成一个二维表格，包含实际观察频数。
2. 计算行和列的总计。
3. 计算每个单元格的期望频数。
4. 代入卡方公式，计算每个单元格的贡献值。
5. 将所有贡献值相加，得到卡方值。
6. 根据自由度查卡方分布表，判断是否拒绝原假设。
四、示例表格
以下是一个简单的列联表示例，用于演示卡方值的计算过程：
| 类别A | 类别B | 合计 | |
| 组1 | 10 | 20 | 30 |
| 组2 | 15 | 25 | 40 |
| 合计 | 25 | 45 | 70 |
1. 计算期望频数
- 组1 & 类别A: $ \frac{30 \times 25}{70} = 10.71 $
- 组1 & 类别B: $ \frac{30 \times 45}{70} = 19.29 $
- 组2 & 类别A: $ \frac{40 \times 25}{70} = 14.29 $
- 组2 & 类别B: $ \frac{40 \times 45}{70} = 25.71 $
2. 计算卡方值
| 单元格 | 观察值 (O) | 期望值 (E) | (O-E) | (O-E)² | (O-E)²/E |
| 组1 & A | 10 | 10.71 | -0.71 | 0.5041 | 0.0471 |
| 组1 & B | 20 | 19.29 | 0.71 | 0.5041 | 0.0261 |
| 组2 & A | 15 | 14.29 | 0.71 | 0.5041 | 0.0353 |
| 组2 & B | 25 | 25.71 | -0.71 | 0.5041 | 0.0196 |
| 合计 | 0.1281 |
因此，卡方值为 0.1281。
五、结论
通过上述步骤，可以计算出卡方值，并进一步判断变量间是否具有显著关联。卡方值越小，说明观察频数与期望频数越接近，变量间的关联性越弱；反之，值越大，说明差异越明显，可能拒绝“独立”的原假设。
六、注意事项
- 卡方检验适用于分类数据；
- 当某些单元格的期望频数小于5时，建议使用Fisher精确检验；
- 卡方检验不适用于连续型变量，需先进行分组处理。
如需进一步分析，可结合卡方分布表或使用统计软件（如SPSS、R语言等）进行更深入的统计推断。
