【矩阵乘积的秩的性质】在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的属性，它反映了矩阵的线性无关行或列的数量。当两个矩阵相乘时，它们的乘积的秩往往与原矩阵的秩之间存在一定的关系。本文将总结矩阵乘积的秩的一些基本性质，并通过表格形式进行归纳。
一、基本概念回顾
- 矩阵的秩（Rank）：一个矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
- 矩阵乘法：若 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times p $ 矩阵，则 $ AB $ 是 $ m \times p $ 矩阵。
二、矩阵乘积的秩的基本性质
1. 秩的不等式
对于任意两个可相乘的矩阵 $ A $ 和 $ B $，有：
$$
\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))
$$
2. 满秩矩阵的乘积
若 $ A $ 是 $ m \times n $ 的满秩矩阵（即 $ \text{rank}(A) = \min(m, n) $），且 $ B $ 是 $ n \times p $ 的满秩矩阵，则：
$$
\text{rank}(AB) = \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))
$$
3. 左乘或右乘单位矩阵
若 $ I $ 是单位矩阵，则：
$$
\text{rank}(IA) = \text{rank}(A), \quad \text{rank}(AI) = \text{rank}(A)
$$
4. 零矩阵的乘积
若 $ A $ 或 $ B $ 中有一个为零矩阵，则 $ AB $ 也为零矩阵，其秩为0。
5. 秩的可加性
一般情况下，矩阵乘积的秩并不满足秩的可加性，即：
$$
\text{rank}(AB) \neq \text{rank}(A) + \text{rank}(B)
$$
6. 秩的对称性
对于方阵 $ A $，有：
$$
\text{rank}(A^T) = \text{rank}(A)
$$
但乘积 $ AB $ 与 $ BA $ 的秩不一定相同。
7. 非奇异矩阵的影响
若 $ A $ 是可逆矩阵（即 $ \det(A) \neq 0 $），则：
$$
\text{rank}(AB) = \text{rank}(B), \quad \text{rank}(BA) = \text{rank}(A)
$$
三、总结表格
| 性质名称 | 描述 |
| 秩的不等式 | $ \text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) $ |
| 满秩矩阵乘积 | 若 $ A $、$ B $ 都满秩，则 $ \text{rank}(AB) = \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) $ |
| 单位矩阵影响 | 左乘或右乘单位矩阵不影响秩 |
| 零矩阵乘积 | 若 $ A $ 或 $ B $ 为零矩阵，则 $ AB $ 也为零矩阵 |
| 秩的可加性 | 一般不成立 |
| 秩的对称性 | $ \text{rank}(A^T) = \text{rank}(A) $ |
| 非奇异矩阵影响 | 可逆矩阵乘积保持原矩阵的秩 |
四、结论
矩阵乘积的秩虽然受原矩阵秩的限制，但其具体数值还受到矩阵结构和乘积顺序的影响。理解这些性质有助于在实际应用中更准确地分析矩阵运算的结果，尤其是在控制理论、信号处理、机器学习等领域中具有重要意义。
