【欧拉函数公式】在数论中，欧拉函数（Euler's Totient Function）是一个非常重要的函数，常用于计算与某个正整数互质的正整数个数。该函数通常用符号 φ(n) 表示，其中 n 是一个正整数。φ(n) 的值表示在 1 到 n 之间（包括 1 和 n）与 n 互质的正整数的个数。

一、欧拉函数的基本定义

对于任意正整数 n，欧拉函数 φ(n) 定义为：

> φ(n) = 1 到 n 中与 n 互质的整数的个数。

互质指的是两个数的最大公约数为 1。

二、欧拉函数的计算公式

1. 当 n 是质数时

如果 n 是质数 p，则 φ(p) = p - 1。因为除了 p 本身外，所有小于 p 的正整数都与 p 互质。

2. 当 n 是质数的幂次时

若 n = p^k，其中 p 是质数，k 是正整数，则：

$$

φ(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1)

$$

3. 当 n 是多个质数的乘积时

若 n = p₁^k₁ × p₂^k₂ × ... × pₘ^kₘ，其中 p₁, p₂, ..., pₘ 是不同的质数，则：

$$

φ(n) = n \times \prod_{i=1}^{m} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right)

$$

这个公式是欧拉函数的核心公式之一，适用于任何正整数 n。

三、欧拉函数的性质

四、常见数值举例（表格）

五、总结

欧拉函数 φ(n) 是数论中的基础工具，广泛应用于密码学、模运算、数论证明等领域。其核心公式为：

$$

φ(n) = n \times \prod_{pn} \left(1 - \frac{1}{p}\right)

$$

其中 p 是 n 的质因数。通过理解这一函数及其性质，可以更深入地掌握数论中的许多重要概念和应用。