【欧拉方程求解微分方程】在微分方程的求解过程中，欧拉方程是一种常见的二阶线性常微分方程形式，广泛应用于物理、工程和数学领域。欧拉方程的标准形式为：
$$
x^2 y'' + x y' + \lambda y = 0
$$
其中，$\lambda$ 是常数，$y$ 是关于 $x$ 的函数。该方程的特点是其系数与自变量 $x$ 的幂次有关，因此可以通过变量替换转化为常系数微分方程。
求解步骤总结
1. 变量替换：令 $t = \ln x$，将原方程转化为关于 $t$ 的常系数微分方程。
2. 求解特征方程：得到特征方程后，根据根的情况（实根、共轭复根、重根）写出通解。
3. 回代变量：将 $t$ 替换为 $\ln x$，得到原方程的通解。
欧拉方程求解方法对比表
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 变量替换 | 令 $t = \ln x$，将原方程转换为常系数方程 |
| 2 | 转换后的方程 | 得到形如 $y'' + a y' + b y = 0$ 的常系数方程 |
| 3 | 特征方程 | 解特征方程 $r^2 + a r + b = 0$ |
| 4 | 根的类型 | 分为三种情况： ① 实根 ② 共轭复根 ③ 重根 |
| 5 | 通解形式 | 根据特征根的不同，写出对应的通解表达式 |
| 6 | 回代变量 | 将 $t = \ln x$ 代入通解中，还原为关于 $x$ 的表达式 |
示例
以方程 $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ 为例：
1. 令 $t = \ln x$，则：
$$
y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}, \quad y' = \frac{dy}{dt}
$$
2. 原方程变为：
$$
\frac{d^2 y}{dt^2} - 4y = 0
$$
3. 特征方程为：
$$
r^2 - 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2
$$
4. 通解为：
$$
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}
$$
5. 回代 $t = \ln x$，得：
$$
y(x) = C_1 x^2 + C_2 x^{-2}
$$
结论
欧拉方程的求解过程虽然看似复杂，但通过适当的变量替换和特征方程分析，可以系统地找到通解。掌握这一方法有助于处理实际问题中出现的非常系数微分方程，提高解题效率与准确性。
