【行列式如何展开】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组以及计算几何中的面积和体积等。在实际应用中，行列式的展开是一个关键步骤，尤其对于高阶行列式的计算更为重要。本文将总结行列式展开的基本方法，并以表格形式进行对比说明。
一、行列式展开的基本方法
行列式的展开通常可以通过按行展开或按列展开的方式进行，其核心思想是利用余子式（Minor）和代数余子式（Cofactor）来逐步简化计算。
1. 按行展开（Row Expansion）
对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $，其行列式可以按第 $ i $ 行展开：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
其中：
- $ a_{ij} $ 是第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素；
- $ C_{ij} $ 是 $ a_{ij} $ 的代数余子式，定义为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中 $ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式。
2. 按列展开（Column Expansion）
同样地，也可以按第 $ j $ 列展开：
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot C_{ij}
$$
与按行展开类似，只是变量从行变为列。
二、行列式展开的常用技巧
| 方法 | 适用场景 | 优点 | 缺点 |
| 按行/列展开 | 任意矩阵 | 简单直观，易于理解 | 对于高阶矩阵计算量大 |
| 三角化法 | 可以通过初等变换转化为上三角矩阵 | 计算效率高 | 需要掌握初等变换技巧 |
| 拉普拉斯展开 | 多次使用行列式展开 | 可用于递归计算 | 重复计算较多 |
| 特征值法 | 已知特征值时 | 快速计算 | 依赖特征值信息 |
三、行列式展开示例
以一个 3×3 矩阵为例：
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
\det(A) = a \cdot
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i \\
\end{vmatrix}
- b \cdot
\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i \\
\end{vmatrix}
+ c \cdot
\begin{vmatrix}
d & e \\
g & h \\
\end{vmatrix}
$$
即：
$$
\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
四、总结
行列式的展开是计算行列式的重要手段，尤其是对高阶矩阵而言。根据实际情况选择合适的展开方式（如按行或按列），并结合一些技巧（如三角化、拉普拉斯展开等），可以有效提高计算效率和准确性。
| 展开方式 | 适用范围 | 推荐程度 |
| 按行展开 | 通用 | ★★★★☆ |
| 按列展开 | 通用 | ★★★★☆ |
| 三角化法 | 高阶矩阵 | ★★★★★ |
| 拉普拉斯展开 | 递归计算 | ★★★☆☆ |
| 特征值法 | 已知特征值 | ★★★☆☆ |
通过合理选择展开方式，可以更高效地计算行列式的值，同时避免不必要的重复计算。掌握这些方法，有助于深入理解线性代数的核心内容。
