【行列式的几个重要公式】行列式是线性代数中的一个核心概念，广泛应用于矩阵求逆、解线性方程组、特征值计算等领域。掌握行列式的若干重要公式，有助于更深入地理解其性质与应用。以下是对行列式几个重要公式的总结。
一、行列式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，则其行列式记作 $ \det(A) $ 或 $
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中，$ \sigma $ 是 $ 1, 2, \ldots, n $ 的所有排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 是排列的符号（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
二、行列式的几个重要公式
以下是行列式的一些重要公式及其应用场景，以表格形式展示如下：
| 公式名称 | 公式表达 | 应用场景 |
| 1. 行列式的展开公式 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $ | 按行或按列展开，适用于低阶行列式计算 |
| 2. 转置行列式 | $ \det(A^T) = \det(A) $ | 行列式与转置矩阵的行列式相等 |
| 3. 三角矩阵行列式 | $ \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $ | 上三角或下三角矩阵的行列式为其对角线元素乘积 |
| 4. 行列式的乘法性质 | $ \det(AB) = \det(A)\det(B) $ | 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积 |
| 5. 行列式的性质：交换两行（列）变号 | 若交换两行（列），则行列式变号 | 在行列式化简中常用 |
| 6. 行列式与逆矩阵的关系 | $ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} $ | 只有非奇异矩阵才有逆矩阵 |
| 7. 行列式与特征值 | $ \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n $ | 行列式等于矩阵所有特征值的乘积 |
| 8. 行列式的拉普拉斯展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $ | 通过余子式进行展开计算 |
| 9. 行列式与向量的叉积 | $ \det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} $ | 三维向量叉积的计算方法 |
| 10. 行列式的分块矩阵公式 | $ \det \begin{bmatrix} A & B \\ 0 & D \end{bmatrix} = \det(A)\det(D) $ | 分块矩阵的行列式可分解计算 |
三、总结
行列式的计算和性质在数学与工程领域有着广泛应用。通过掌握上述公式，可以更高效地处理矩阵问题，特别是在计算复杂度较高的情况下，合理运用这些公式能够显著简化运算过程。同时，了解行列式的几何意义（如面积、体积等）也有助于加深对线性变换的理解。
建议在实际应用中结合具体题目灵活使用这些公式，并注意行列式的符号变化和条件限制（如非奇异矩阵）。
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