【余切函数常用公式】余切函数是三角函数中的一种，通常用“cot”表示，它是正切函数的倒数。在数学、物理和工程领域中，余切函数有着广泛的应用。为了便于查阅和学习，本文对余切函数的一些常用公式进行总结，并以表格形式呈现。
一、余切函数的基本定义
余切函数定义为：
$$
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
$$
其中，$\theta$ 是角的大小，单位可以是弧度或角度。
二、余切函数的性质
1. 周期性：余切函数的周期为 $\pi$，即：
$$
\cot(\theta + n\pi) = \cot \theta \quad (n \in \mathbb{Z})
$$
2. 奇偶性：余切函数是奇函数，即：
$$
\cot(-\theta) = -\cot \theta
$$
3. 定义域：余切函数在 $\theta = n\pi$ 处无定义（$\sin \theta = 0$）。
4. 值域：余切函数的值域为全体实数，即 $(-\infty, +\infty)$。
三、余切函数与其它三角函数的关系
| 公式 | 说明 |
| $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ | 余切是正切的倒数 |
| $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ | 余切的定义式 |
| $\cot \theta = \frac{\sin(2\theta)}{1 - \cos(2\theta)}$ | 用倍角公式表达 |
| $\cot \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{\sin(2\theta)}$ | 另一种倍角表达方式 |
四、余切函数的导数与积分
| 公式 | 说明 | ||
| $\frac{d}{d\theta} \cot \theta = -\csc^2 \theta$ | 余切的导数 | ||
| $\int \cot \theta \, d\theta = \ln | \sin \theta | + C$ | 余切的不定积分 |
五、余切函数的反函数
余切函数的反函数记作 $\text{arccot} \, x$，其定义域为 $(-\infty, +\infty)$，值域为 $(0, \pi)$。
六、余切函数的常用恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta$ | 基本恒等式之一 |
| $\cot(\theta + \phi) = \frac{\cot \theta \cot \phi - 1}{\cot \theta + \cot \phi}$ | 和角公式 |
| $\cot(\theta - \phi) = \frac{\cot \theta \cot \phi + 1}{\cot \phi - \cot \theta}$ | 差角公式 |
| $\cot(2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2\cot \theta}$ | 倍角公式 |
七、常见角度的余切值（角度制）
| 角度 $\theta$（°） | $\cot \theta$ |
| 0 | 不存在 |
| 30 | $\sqrt{3}$ |
| 45 | 1 |
| 60 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 90 | 0 |
八、余切函数在单位圆中的表现
在单位圆中，余切函数的值等于横坐标与纵坐标的比值，即：
$$
\cot \theta = \frac{x}{y}
$$
当点位于第一象限时，余切值为正；当点位于第二象限时，余切值为负；第三象限为正，第四象限为负。
总结
余切函数作为三角函数的重要组成部分，在数学分析、几何学以及工程计算中具有重要作用。掌握其基本定义、性质、导数、积分及常用恒等式，有助于更深入地理解和应用这一函数。通过上述表格，可以快速查阅和记忆余切函数的相关公式，提高学习效率。
如需进一步了解余切函数在实际问题中的应用，可结合具体场景进行拓展学习。
