【什么函数求导是arctan】在微积分的学习中，常常会遇到“已知一个函数的导数为某个表达式，求原函数”的问题。其中，“什么函数的导数是 arctan x”是一个常见但容易被忽视的问题。本文将通过总结与表格的形式，系统地解答这一问题，并降低AI生成内容的痕迹。
一、问题解析
我们知道，arctan x 是一个常见的反三角函数，其导数为：
$$
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
因此，若我们想找到一个函数，使得它的导数是 arctan x，那么我们需要进行不定积分运算，即求：
$$
\int \arctan x \, dx
$$
二、求解过程（简要）
为了求 $\int \arctan x \, dx$，我们可以使用分部积分法：
设 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1 + x^2} dx$
令 $dv = dx$，则 $v = x$
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arctan x \, dx = x \cdot \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来对第二项积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
所以最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
三、总结与表格
| 原函数 | 导数 |
| $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2)$ | $\arctan x$ |
四、结论
通过上述推导可知，一个函数的导数是 arctan x 的情况，其原函数为：
$$
x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
这表明，在微积分中，当我们知道一个函数的导数时，可以通过积分找到其原函数。这种思路在实际问题中非常实用，尤其是在物理、工程和数学建模中。
五、小结
- 已知导数为 arctan x，原函数可通过积分求得。
- 使用分部积分法是解决此类问题的有效方法。
- 最终结果为 $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$，并附有对应关系表以便查阅。
如需进一步了解其他函数的导数与原函数关系，可继续探索积分表或相关教材。
