【三角形中心重心垂心公式】在几何学中，三角形的“中心”是一个广义的概念，通常包括多种特殊点，如重心、垂心、外心和内心等。其中，重心、垂心是三角形中非常重要的两个点，它们各自有明确的定义和计算公式。以下是对三角形的重心与垂心的相关公式的总结，并通过表格形式进行对比展示。
一、基本概念
1. 重心（Centroid）
重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的几何中心。它将每条中线分为2:1的比例，即从顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的两倍。
2. 垂心（Orthocenter）
垂心是三角形三条高的交点。高是从一个顶点垂直于对边的线段。垂心的位置取决于三角形的类型：锐角三角形中，垂心位于三角形内部；直角三角形中，垂心在直角顶点；钝角三角形中，垂心则在三角形外部。
二、相关公式
1. 重心坐标公式
设三角形三个顶点的坐标分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则其重心 $ G $ 的坐标为：
$$
G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)
$$
2. 垂心坐标公式
垂心的坐标没有统一的简洁公式，但可以通过求解三条高的方程来得到。若已知三边的斜率或直线方程，可分别求出两条高的方程并求其交点，即为垂心。
对于一般情况，若三角形顶点为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，可以使用向量法或行列式法进行计算，较为复杂，不便于直接列出通用公式。
三、对比总结表
| 名称 | 定义 | 坐标公式 | 特点说明 |
| 重心 | 三条中线的交点 | $ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) $ | 将中线分为2:1比例，是几何中心 |
| 垂心 | 三条高的交点 | 无统一公式，需通过高线方程求交点 | 位置随三角形类型变化，可能在外部 |
四、小结
三角形的重心与垂心是几何中非常重要的两个特征点，分别代表了不同的几何意义。重心是三角形的平衡点，而垂心则是高度交汇的关键点。虽然重心有明确的坐标公式，但垂心的计算相对复杂，需要结合具体三角形的几何特性进行分析。
理解这些公式的应用有助于更深入地掌握三角形的几何性质，也为后续的解析几何学习打下基础。
