【三阶矩阵求逆公式】在数学中，矩阵的逆是线性代数中的一个重要概念，尤其在解线性方程组、变换矩阵和计算机图形学等领域有广泛应用。对于一个三阶矩阵（3×3矩阵），若其行列式不为零，则该矩阵可逆。本文将总结三阶矩阵求逆的基本方法，并以表格形式展示关键步骤和公式。
一、三阶矩阵求逆的基本步骤
1. 计算行列式：确定矩阵是否可逆。
2. 求伴随矩阵：即原矩阵的余子式矩阵的转置。
3. 应用逆矩阵公式：将伴随矩阵除以行列式的值。
二、三阶矩阵求逆公式
设三阶矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $，其逆矩阵 $ A^{-1} $ 的公式如下：
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
$$
其中：
- $ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $
- $ \text{adj}(A) $ 是 $ A $ 的伴随矩阵，由每个元素的余子式构成并转置得到。
三、三阶矩阵求逆步骤与公式对照表
| 步骤 | 内容 | 公式/说明 |
| 1 | 计算行列式 | $ \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $ |
| 2 | 求余子式矩阵 | 对每个元素 $ a_{ij} $，计算其对应的余子式 $ C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $，其中 $ M_{ij} $ 是去掉第i行第j列后的2×2行列式 |
| 3 | 构造伴随矩阵 | 将余子式矩阵转置，得到伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ |
| 4 | 求逆矩阵 | $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $ |
四、示例说明
假设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} $
1. 计算行列式：
$$
\det(A) = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5)
= 1(-24) - 2(-20) + 3(-5) = -24 + 40 -15 = 1
$$
2. 求余子式矩阵：
- $ C_{11} = 1 \cdot 0 - 4 \cdot 6 = -24 $
- $ C_{12} = -(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) = 20 $
- $ C_{13} = 0 \cdot 6 - 1 \cdot 5 = -5 $
- $ C_{21} = -(2 \cdot 0 - 3 \cdot 6) = 18 $
- $ C_{22} = 1 \cdot 0 - 3 \cdot 5 = -15 $
- $ C_{23} = -(1 \cdot 6 - 2 \cdot 5) = -(-4) = 4 $
- $ C_{31} = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 8 - 3 = 5 $
- $ C_{32} = -(1 \cdot 4 - 3 \cdot 0) = -4 $
- $ C_{33} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 1 $
余子式矩阵为：
$$
\begin{bmatrix}
-24 & 20 & -5 \\
18 & -15 & 4 \\
5 & -4 & 1
\end{bmatrix}
$$
3. 构造伴随矩阵：转置后不变（因对称）。
4. 求逆矩阵：
$$
A^{-1} = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix}
-24 & 20 & -5 \\
18 & -15 & 4 \\
5 & -4 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-24 & 20 & -5 \\
18 & -15 & 4 \\
5 & -4 & 1
\end{bmatrix}
$$
五、注意事项
- 若 $ \det(A) = 0 $，则矩阵不可逆，称为奇异矩阵。
- 三阶矩阵求逆过程较为繁琐，建议使用计算器或编程工具辅助计算。
- 理解伴随矩阵和余子式的构造有助于掌握更复杂的矩阵运算。
通过上述步骤和公式，可以系统地掌握三阶矩阵求逆的方法，适用于实际问题建模与数值计算。
