【三角函数和差化积的推导过程】在三角函数的学习中，和差化积公式是重要的工具之一，它能够将两个三角函数的和或差转化为乘积形式，便于简化运算与分析。以下是对“三角函数和差化积”公式的详细推导过程总结，并以表格形式展示其核心内容。
一、推导思路概述
和差化积公式来源于三角函数的和角公式与差角公式，通过代数变形与组合，可以将和或差的形式转化为乘积形式。其基本思想是利用正弦、余弦的和角与差角公式，结合变量替换与对称性，推导出相应的积化和差公式。
二、主要公式及推导过程
1. 正弦和差化积公式
- 公式：
$$
\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A+B}{2} \right) \cos\left( \frac{A-B}{2} \right)
$$
$$
\sin A - \sin B = 2 \cos\left( \frac{A+B}{2} \right) \sin\left( \frac{A-B}{2} \right)
$$
- 推导过程：
利用和角公式：
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
$$
\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
将两式相加得：
$$
\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B
$$
令 $ A + B = x $，$ A - B = y $，则 $ A = \frac{x+y}{2} $，$ B = \frac{x-y}{2} $，代入上式可得：
$$
\sin x + \sin y = 2 \sin\left( \frac{x+y}{2} \right) \cos\left( \frac{x-y}{2} \right)
$$
2. 余弦和差化积公式
- 公式：
$$
\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A+B}{2} \right) \cos\left( \frac{A-B}{2} \right)
$$
$$
\cos A - \cos B = -2 \sin\left( \frac{A+B}{2} \right) \sin\left( \frac{A-B}{2} \right)
$$
- 推导过程：
利用和角公式：
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$
$$
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
$$
将两式相加得：
$$
\cos(A + B) + \cos(A - B) = 2 \cos A \cos B
$$
同样令 $ A + B = x $，$ A - B = y $，代入后可得：
$$
\cos x + \cos y = 2 \cos\left( \frac{x+y}{2} \right) \cos\left( \frac{x-y}{2} \right)
$$
三、常用和差化积公式汇总
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦和 | $ \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A+B}{2} \right) \cos\left( \frac{A-B}{2} \right) $ | 将正弦之和转化为乘积 |
| 正弦差 | $ \sin A - \sin B = 2 \cos\left( \frac{A+B}{2} \right) \sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $ | 将正弦之差转化为乘积 |
| 余弦和 | $ \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A+B}{2} \right) \cos\left( \frac{A-B}{2} \right) $ | 将余弦之和转化为乘积 |
| 余弦差 | $ \cos A - \cos B = -2 \sin\left( \frac{A+B}{2} \right) \sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $ | 将余弦之差转化为乘积 |
四、应用举例
例如，计算 $ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ $：
使用公式：
$$
\sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left( \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} \right) \cos\left( \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} \right) = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ
$$
$$
= 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}
$$
五、总结
三角函数的和差化积公式是通过和角、差角公式的代数变换推导而来，具有广泛的应用价值，尤其在积分、微分方程以及信号处理等领域中非常常见。掌握这些公式的推导过程有助于理解其内在逻辑，提高解题效率。
