【三角函数的转换公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。为了便于计算和分析，掌握常见的三角函数转换公式至关重要。以下是对常见三角函数转换公式的总结，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本转换公式
1. 正弦与余弦的关系：
$$
\sin(\theta) = \cos\left(90^\circ - \theta\right)
$$
$$
\cos(\theta) = \sin\left(90^\circ - \theta\right)
$$
2. 正切与正弦、余弦的关系：
$$
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
$$
3. 正切与余切的关系：
$$
\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}
$$
4. 正割与余弦的关系：
$$
\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}
$$
5. 余割与正弦的关系：
$$
\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}
$$
二、角度转换公式（弧度与角度）
| 角度（度） | 弧度（rad） |
| 0° | 0 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 180° | π |
| 270° | 3π/2 |
| 360° | 2π |
三、诱导公式（用于不同象限的转换）
| 原角 θ | 转换后表达式 | 说明 |
| sin(θ) | sin(π - θ) | 第二象限 |
| cos(θ) | -cos(π - θ) | 第二象限 |
| sin(θ) | -sin(π + θ) | 第三象限 |
| cos(θ) | -cos(π + θ) | 第三象限 |
| sin(θ) | -sin(2π - θ) | 第四象限 |
| cos(θ) | cos(2π - θ) | 第四象限 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的和差公式 |
五、倍角与半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ | 两倍角公式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角公式 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
六、常用三角函数值表（部分）
| 角度（度） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | 无定义 |
通过掌握这些三角函数的转换公式，可以更灵活地处理各种三角问题，提高解题效率。在实际应用中，结合图形或单位圆进行理解，有助于加深记忆和应用能力。
