【排列组合基本公式】在数学中，排列与组合是研究对象按照一定顺序或不按顺序进行选取和安排的问题。它们广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。为了更好地理解和应用这些概念，以下对排列与组合的基本公式进行了总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、排列（Permutation）
排列是指从一组不同的元素中，按照一定的顺序取出若干个元素进行排列的方式数。排列强调的是“顺序”的重要性。
1. 全排列（n个不同元素的排列）
当从n个不同元素中取出全部n个元素进行排列时，其排列数为：
$$
P(n) = n!
$$
其中，$ n! $ 表示n的阶乘，即：
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 $
2. 部分排列（从n个元素中取k个进行排列）
从n个不同元素中取出k个元素进行排列，其排列数为：
$$
P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
$$
3. 重复排列（允许元素重复）
如果允许元素重复使用，则从n个元素中取出k个进行排列的总数为：
$$
P_{\text{repeat}}(n, k) = n^k
$$
二、组合（Combination）
组合是指从一组不同的元素中，不考虑顺序地取出若干个元素进行组合的方式数。组合不关心元素的顺序。
1. 从n个元素中取k个进行组合
从n个不同元素中取出k个元素进行组合，其组合数为：
$$
C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
2. 重复组合（允许元素重复）
如果允许元素重复使用，则从n个元素中取出k个进行组合的总数为：
$$
C_{\text{repeat}}(n, k) = \binom{n + k - 1}{k}
$$
三、总结表格
| 类型 | 公式 | 说明 |
| 全排列 | $ P(n) = n! $ | 从n个不同元素中取出全部进行排列 |
| 部分排列 | $ P(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!} $ | 从n个不同元素中取出k个进行排列 |
| 重复排列 | $ P_{\text{repeat}}(n, k) = n^k $ | 允许元素重复时的排列数 |
| 组合 | $ C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ | 从n个不同元素中取出k个不考虑顺序 |
| 重复组合 | $ C_{\text{repeat}}(n, k) = \binom{n + k - 1}{k} $ | 允许元素重复时的组合数 |
四、小结
排列与组合是数学中非常基础但重要的概念，理解它们的区别和应用场景有助于解决实际问题。排列关注顺序，组合不关注顺序；同时，是否允许元素重复也会影响计算方式。掌握这些基本公式，可以为后续学习概率、组合数学等打下坚实的基础。
