【几何分布的期望和方差公式推导】在概率论中，几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在一系列独立的伯努利试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。根据定义，几何分布有两种形式：一种是首次成功发生在第k次试验（即支持集为1,2,3,...），另一种是首次成功发生在第k-1次失败之后（即支持集为0,1,2,...）。本文将重点讨论第一种形式，即首次成功发生在第k次试验的几何分布。

几何分布的参数为p（成功的概率），其概率质量函数（PMF）为：

$$

P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} \cdot p \quad \text{其中 } k = 1, 2, 3, \ldots

$$

接下来我们将推导该几何分布的期望和方差。

一、期望（均值）的推导

设随机变量 $ X $ 服从几何分布，其期望记为 $ E(X) $。

我们从定义出发：

$$

E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k - 1} \cdot p

$$

为了简化计算，我们可以利用级数求和技巧。令：

$$

S = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k - 1}

$$

注意到这是一个已知的无穷级数，其结果为：

$$

\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot r^{k - 1} = \frac{1}{(1 - r)^2}, \quad \text{其中 } r < 1

$$

令 $ r = 1 - p $，则有：

$$

S = \frac{1}{(1 - (1 - p))^2} = \frac{1}{p^2}

$$

因此，

$$

E(X) = p \cdot S = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}

$$

二、方差的推导

方差 $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $

我们先计算 $ E(X^2) $：

$$

E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k - 1} \cdot p

$$

同样使用级数技巧，已知：

$$

\sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot r^{k - 1} = \frac{1 + r}{(1 - r)^3}, \quad \text{其中 } r < 1

$$

令 $ r = 1 - p $，则：

$$

\sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k - 1} = \frac{1 + (1 - p)}{(1 - (1 - p))^3} = \frac{2 - p}{p^3}

$$

因此，

$$

E(X^2) = p \cdot \frac{2 - p}{p^3} = \frac{2 - p}{p^2}

$$

然后计算方差：

$$

\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{2 - p - 1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}

$$

三、总结表格

通过上述推导，我们得出了几何分布的期望和方差公式。这些公式在实际应用中非常有用，例如在可靠性分析、排队理论、以及实验设计等领域中均有广泛的应用。理解其数学背景有助于更深入地掌握概率模型的本质。