【两向量垂直的公式】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。两向量垂直意味着它们之间的夹角为90度。根据向量的点积性质，可以利用点积公式来判断两个向量是否垂直。
一、基本概念
- 向量：具有大小和方向的量，通常用坐标形式表示，如 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 或 $\vec{b} = (b_1, b_2)$。
- 点积（内积）：两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的点积定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2
$$
- 垂直条件：当两个向量的点积为零时，说明它们互相垂直。
二、两向量垂直的公式
若两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$ 垂直，则满足：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = 0
$$
这个公式是判断两向量是否垂直的核心依据。
三、总结与表格
| 条件 | 描述 |
| 向量表示 | $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$ |
| 点积公式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$ |
| 垂直条件 | 当 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 时，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 |
| 应用场景 | 几何、物理、工程等需要判断方向关系的问题 |
四、举例说明
例如，已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-4, 3)$，计算它们的点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
通过上述公式和实例，我们可以清晰地判断两个向量是否垂直，这在实际问题中有着广泛的应用价值。
