cos 平方的积分也就是不定积分∫cos²x dx，最终原函数是二分之 x 加上四分之一 sin2x 再加积分常数 C，这个积分是偶数次余弦幂积分最基础的题型，不能直接凑微分，核心解法是二倍角降幂公式，把二次方转化成常数加上 cos2x 的一次三角函数，之后分项积分就可以算出结果，这个是高数 考研数学 高中拓展微积分的高频基础题，同时它也是 cosⁿx 递推公式里面 n 等于 2 的特殊情况，两种方法可以互相验证，另外还有 0 到二分之 π 的定积分版本，可以直接套用华里士公式快速得到结果，很多同学出错是降幂的时候倍角系数记错，积分 cos2x 的时候漏掉二分之一的系数，要分清不定积分和定积分，不定积分末尾必须带上常数 C，定积分代入上下限之后是确定数值。

核心降幂恒等式

二倍角变形公式 cos2x = 2cos²x - 1

整理得到降幂公式 cos²x = (1 + cos2x) / 2

这个式子就是求解 cos 平方的积分的关键，把二次幂拆成常数项加倍角余弦项，消除平方。

不定积分求解步骤

第一步 代入降幂公式改写被积函数

∫cos²x dx = ∫ (1 + cos2x) / 2 dx

第二步 把二分之一常数提到积分外面

等于 二分之一 ∫(1 + cos2x) dx

第三步 分项分开积分

二分之一 ∫1 dx + 二分之一 ∫cos2x dx

第一项积分结果是 x

第二项 ∫cos2x dx 的原函数是 二分之一 sin2x

第四步 合并化简

二分之一 x + 二分之一 × 二分之一 sin2x + C

最终结果 ∫cos²x dx = x/2 + sin2x /4 + C

递推公式验证

套用 cosⁿx 递推公式 Iₙ = (1/n) cosⁿ⁻¹x sinx + ((n-1)/n) Iₙ₋₂

n 等于 2

I₂ = (1/2) cosx sinx + (1/2) I₀

I₀ = ∫1 dx = x + C

代入得到 I₂ = 二分之一 cosx sinx + 二分之一 x + C

利用二倍角公式 sin2x = 2sinx cosx，二分之一 cosx sinx 等于四分之一 sin2x，和降幂法得到的表达式完全等价，只是书写形式不一样。

定积分特殊区间结果

0 到二分之 π 区间，华里士公式 n 等于 2 偶数

∫(0 到 π/2) cos²x dx = 二分之一 × 二分之 π = π/4

把原函数代入上下限验算，结果一致。

结果对照表

易错点说明

第一 降幂公式不要写反，是 (1 加 cos2x) 除以 2，不要写成 (1 减 cos2x)，减号是 sin 平方的降幂公式

第二 积分 cos2x 的时候，原函数是二分之一 sin2x，很多同学直接写成 sin2x，漏掉倍角带来的系数

第三 递推法得到的带 sinx cosx 形式，和倍角正弦形式是恒等，不要认为两个答案不一样

第四 不定积分一定要写积分常数 C，定积分不需要添加 C

【常见问题】

问题 1 cos 平方的积分为什么要用降幂公式

回答 1 cos 平方的积分因为被积函数是平方形式，没有办法直接凑微分，使用降幂公式可以把 cos 平方转化成常数加 cos2x，变成基础三角函数积分，是这个题型标准解法。

问题 2 cos 平方的积分和 cos 四次方的积分解法是不是一样

回答 2 cos 平方的积分和 cos 四次方的积分解法思路一致，都是二倍角降幂，区别是 cos 四次方需要二次降幂，cos 平方只需要一次降幂。

问题 3 cos 平方的积分对应的 0 到 π/2 定积分能不能直接用华里士公式

回答 3 cos 平方的积分对应的 0 到 π/2 定积分可以直接套用华里士公式，n 等于 2 偶数，计算结果是 π/4，和原函数代入上下限结果一致。

问题 4 cos 平方的积分递推法答案为什么和降幂法形式不同

回答 4 cos 平方的积分递推法得到的是 sinx cosx 形式，降幂法是 sin2x 形式，依靠二倍角公式可以互相转化，本质是同一个原函数，只是书写形式有差别。

【免责申明】

本内容为高等数学学习参考，默认是实数域黎曼积分，全部采用弧度制，不包含反常积分 复积分等拓展场景，正式考试不同教材化简形式略有差异，只要恒等等价都属于正确结果。