【数学独立性检验公式】在统计学中，独立性检验是一种用于判断两个分类变量是否相互独立的假设检验方法。常见的独立性检验方法是卡方（χ²）检验，它通过比较观察频数与期望频数之间的差异来判断变量之间是否存在显著关联。
一、独立性检验的基本原理
独立性检验的核心思想是：如果两个变量是独立的，则它们的联合分布应等于各自边缘分布的乘积。若实际观测值与理论期望值之间存在较大差异，则可以认为两个变量之间存在某种依赖关系。
二、卡方独立性检验公式
卡方独立性检验的公式如下：
$$
\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
$$
其中：
- $ O_{ij} $ 表示第 $ i $ 行第 $ j $ 列的实际观测频数；
- $ E_{ij} $ 表示第 $ i $ 行第 $ j $ 列的期望频数；
- $ r $ 为行数；
- $ c $ 为列数。
三、期望频数的计算公式
期望频数 $ E_{ij} $ 的计算公式为：
$$
E_{ij} = \frac{R_i \cdot C_j}{N}
$$
其中：
- $ R_i $ 是第 $ i $ 行的总频数；
- $ C_j $ 是第 $ j $ 列的总频数；
- $ N $ 是所有观测值的总数。
四、检验步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 提出原假设 $ H_0 $：两变量独立；备择假设 $ H_1 $：两变量不独立 |
| 2 | 确定显著性水平 $ \alpha $（如 0.05） |
| 3 | 构建列联表，计算各单元格的观测频数 $ O_{ij} $ |
| 4 | 计算各行、各列的总频数 $ R_i $、$ C_j $ 及总样本量 $ N $ |
| 5 | 计算每个单元格的期望频数 $ E_{ij} $ |
| 6 | 根据卡方公式计算卡方统计量 $ \chi^2 $ |
| 7 | 确定自由度 $ df = (r - 1)(c - 1) $ |
| 8 | 查卡方分布表，确定临界值或计算 p 值 |
| 9 | 根据结果决定是否拒绝原假设 |
五、示例表格（简化版）
| 观测频数 | A 类 | B 类 | 合计 |
| X 类 | 10 | 20 | 30 |
| Y 类 | 15 | 25 | 40 |
| 合计 | 25 | 45 | 70 |
期望频数计算：
- $ E_{11} = \frac{30 \times 25}{70} ≈ 10.71 $
- $ E_{12} = \frac{30 \times 45}{70} ≈ 19.29 $
- $ E_{21} = \frac{40 \times 25}{70} ≈ 14.29 $
- $ E_{22} = \frac{40 \times 45}{70} ≈ 25.71 $
六、结论
卡方独立性检验是一种常用且有效的统计方法，适用于分类数据的独立性分析。通过计算卡方统计量并与其临界值比较，可以判断两个变量之间是否存在显著的关联性。在实际应用中，应注意样本量的大小和期望频数的合理性，以确保检验的有效性。
注： 本文内容为原创总结，结合了统计学基本原理与实际应用方法，旨在帮助读者理解独立性检验的逻辑与操作流程。
