【什么是二项分布】二项分布是概率论与数理统计中常见的离散型概率分布，用于描述在固定次数的独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率。它广泛应用于实际问题中，如产品质量检验、抛硬币实验、医疗诊断等。
一、二项分布的基本概念
定义：
设一个实验有且仅有两种可能结果（成功或失败），每次实验的成功概率为p，失败概率为1-p，且各次实验相互独立。如果进行n次独立重复实验，则在这n次实验中恰好发生k次成功的概率服从二项分布，记作 $ X \sim B(n, p) $。
关键特征：
- 实验次数n是固定的。
- 每次实验只有两种可能结果。
- 每次实验的成功概率p相同。
- 各次实验之间相互独立。
二、二项分布的概率质量函数（PMF）
二项分布的概率质量函数表示为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n次实验中选出k次成功的组合方式；
- $ p $ 是单次试验成功的概率；
- $ k $ 是成功次数（取值范围为0到n）。
三、二项分布的期望和方差
| 统计量 | 公式 | 说明 |
| 期望值（均值） | $ E(X) = np $ | 表示在n次试验中平均成功次数 |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ | 描述数据波动程度 |
四、二项分布的应用场景
| 场景 | 说明 |
| 抽样检查 | 如产品是否合格，判断合格率 |
| 投掷硬币 | 计算出现正面次数的概率 |
| 医疗研究 | 如药物治疗有效人数的预测 |
| 风险评估 | 保险行业中计算理赔次数的概率 |
五、二项分布与相关分布的关系
| 分布 | 关系 |
| 伯努利分布 | 当n=1时，二项分布退化为伯努利分布 |
| 泊松分布 | 当n很大且p很小，np为常数时，二项分布可近似为泊松分布 |
| 正态分布 | 当n较大且p不接近0或1时，二项分布可近似为正态分布 |
六、总结
二项分布是一种描述固定次数独立试验中成功次数的概率模型，具有明确的数学表达式和广泛应用价值。其核心在于理解试验次数、成功概率以及独立性条件。掌握二项分布有助于我们在实际问题中进行概率分析和决策支持。
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 二项分布 |
| 类型 | 离散型概率分布 |
| 参数 | n（试验次数）、p（成功概率） |
| 概率公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 期望 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1 - p) $ |
| 应用 | 质量控制、医学、金融、统计推断等 |
通过以上内容，可以清晰地了解二项分布的定义、公式、应用及与其他分布的关系，为后续学习和实际应用提供坚实基础。
