【平行线间的距离公式】在平面几何中，两条平行直线之间的距离是一个重要的概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。了解并掌握平行线间的距离公式，有助于解决许多实际问题。
一、基本概念
平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线。
距离：从一条直线上任意一点到另一条直线的最短路径长度，即为这两条平行线之间的距离。
二、平行线间的距离公式
对于两条平行直线 $ L_1: Ax + By + C_1 = 0 $ 和 $ L_2: Ax + By + C_2 = 0 $，它们之间的距离 $ d $ 可以用以下公式计算：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A $、$ B $ 是直线的一般式方程中的系数；
- $ C_1 $、$ C_2 $ 是两条平行直线的常数项；
- $
- $ \sqrt{A^2 + B^2} $ 是直线法向量的模长。
三、适用条件与注意事项
| 条件/说明 | 说明 |
| 直线必须是平行的 | 如果两条直线不平行，则不能使用该公式 |
| 方程形式要一致 | 两条直线的 $ A $、$ B $ 必须相同或成比例 |
| 一般式方程 | 公式适用于一般式方程 $ Ax + By + C = 0 $ 的情况 |
| 无需点坐标 | 不需要知道具体点的坐标，只需知道常数项即可 |
四、实例分析
| 例子 | 计算过程 | 结果 | ||
| 已知 $ L_1: 2x + 3y + 5 = 0 $，$ L_2: 2x + 3y - 7 = 0 $ | $ d = \frac{ | 5 - (-7) | }{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}} $ | $ d = \frac{12}{\sqrt{13}} $ |
| 已知 $ L_1: x - y + 1 = 0 $，$ L_2: x - y - 4 = 0 $ | $ d = \frac{ | 1 - (-4) | }{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} $ | $ d = \frac{5}{\sqrt{2}} $ |
五、总结
平行线间的距离公式是解决几何问题的重要工具，尤其在处理直线关系时非常实用。通过掌握该公式的应用方法和适用条件，可以快速准确地求出两条平行直线之间的距离，提升解题效率。
| 项目 | 内容 | ||
| 公式 | $ d = \frac{ | C_1 - C_2 | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ |
| 应用场景 | 几何、物理、工程等 | ||
| 关键要素 | 系数 A、B 相同；常数项 C₁、C₂ 不同 | ||
| 优点 | 无需点坐标，直接由方程得出结果 |
以上内容为对“平行线间的距离公式”的总结性阐述，旨在帮助理解其原理与应用。
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